Wyboczenie pręta: kiedy Euler, a kiedy Tetmajer?

Odpowiedź mieści się w jednym zdaniu: decyduje smukłość $\lambda$, a nie długość pręta ani wrażenie, że „wygląda smukło". Dla stali S235 granica przebiega w okolicach $\lambda \approx 100$. Powyżej niej obowiązuje wzór Eulera, poniżej — wzór Tetmajera-Jasińskiego, a dla prętów naprawdę krępych żaden z nich: decyduje zwykła granica plastyczności.

Kolejność jest więc odwrotna, niż podpowiada intuicja. Nie zaczyna się od wyboru wzoru, tylko od policzenia smukłości — i dopiero ona mówi, który wzór wolno zastosować.

Stawka nie jest akademicka. W przykładzie z tego artykułu ten sam pręt policzony Eulerem poza jego zakresem daje siłę krytyczną 635,9 kN zamiast 429,6 kN — o 48% za dużo. Błąd idzie w stronę zawyżenia nośności, czyli w tę gorszą.

Czym właściwie jest wyboczenie

Zanim przejdziemy do wzorów, warto ustawić jedną rzecz, bo od niej zależy sens całej reszty: wyboczenie nie jest zniszczeniem materiału, tylko utratą stateczności ustroju. Pręt ściskany osiowo do pewnej wartości siły pozostaje prosty. Po jej przekroczeniu prosta postać równowagi przestaje być stateczna — pręt gwałtownie ucieka bokiem, mimo że materiał wcale nie musi być w tym momencie przeciążony.

Najlepiej widać to na liczbach z przykładu niżej. Pręt o długości 1,5 m traci stateczność przy naprężeniu $143{,}9\,\mathrm{MPa}$, podczas gdy stal S235 wytrzymuje $235\,\mathrm{MPa}$. Gdyby patrzeć wyłącznie na wytrzymałość, wynik brzmiałby „zapas 60%" — a pręt w tym stanie jest już po katastrofie.

Stąd bierze się druga własność, która zaskakuje przy pierwszym kontakcie: w zakresie sprężystym siła krytyczna w ogóle nie zależy od wytrzymałości materiału. We wzorze Eulera występuje moduł Younga $E$ i geometria — ani granica plastyczności, ani gatunek stali. Zamiana S235 na S355 nie podniesie nośności smukłego pręta ani o niuton, bo oba gatunki mają praktycznie ten sam moduł Younga. Pomaga dopiero zmiana przekroju, skrócenie pręta albo lepsze zamocowanie.

Dlaczego wzór Eulera w pewnym momencie przestaje działać

Wzór Eulera wyprowadza się przy założeniu, że materiał przez cały czas pozostaje liniowo sprężysty — obowiązuje prawo Hooke'a aż do chwili utraty stateczności. Naprężenie krytyczne wynosi wtedy:

$$\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$$

Zwróć uwagę, co ta zależność robi przy malejącej smukłości: $\sigma_{cr}$ rośnie bez żadnego ograniczenia. Dla stali ($E = 210\,\mathrm{GPa}$) przy $\lambda = 50$ wzór przewiduje naprężenie krytyczne około $829\,\mathrm{MPa}$. Tymczasem stal S235 uplastycznia się przy $235\,\mathrm{MPa}$. Pręt rozpłynąłby się plastycznie na długo przed osiągnięciem tej „krytycznej" wartości — a wzór o tym nie wie, bo w jego założeniach plastyczność w ogóle nie występuje.

Granicę stosowalności wyznacza się więc tam, gdzie naprężenie krytyczne zrównuje się z granicą proporcjonalności $R_H$ (końcem zakresu obowiązywania prawa Hooke'a):

$$\lambda_{gr} = \pi\sqrt{\frac{E}{R_H}}$$

Dla $E = 210\,\mathrm{GPa}$ i $R_H = 200\,\mathrm{MPa}$ wychodzi $\lambda_{gr} = 101{,}8$. Stąd bierze się podręcznikowe „około stu" — to nie jest stała przyrody, tylko wynik podstawienia dwóch własności materiału.

Co trzeba policzyć, zanim wybierzesz wzór

Potrzebne są cztery wielkości, w tej kolejności.

Promień bezwładności przekroju — miara tego, jak daleko od osi rozłożony jest materiał:

$$i = \sqrt{\frac{I_{min}}{A}}$$

Uwaga na indeks. Wchodzi tu $I_{min}$, czyli najmniejszy główny moment bezwładności. Pręt wybacza się w najsłabszej płaszczyźnie, a nie w tej, którą akurat narysowałeś.

Długość wyboczeniowa $L_w = \mu L$, gdzie $\mu$ zależy wyłącznie od sposobu zamocowania końców:

Smukłość — wielkość bezwymiarowa, która rozstrzyga o wszystkim:

$$\lambda = \frac{\mu L}{i}$$

Dolna granica $\lambda_0$ — smukłość, przy której prosta Tetmajera schodzi do granicy plastyczności $R_e$. Poniżej niej wyboczenie przestaje być mechanizmem zniszczenia:

$$\lambda_0 = \frac{a - R_e}{b}$$

Dla S235 ($a = 310\,\mathrm{MPa}$, $b = 1{,}14\,\mathrm{MPa}$, $R_e = 235\,\mathrm{MPa}$) daje to $\lambda_0 = 65{,}8$.

Trzy zakresy i trzy wzory

Wzór Tetmajera-Jasińskiego jest empiryczny — to prosta dopasowana do wyników badań, a nie zależność wyprowadzona z równania różniczkowego. Stałe $a$ i $b$ są własnością konkretnego materiału i trzeba je brać z tablic, nie zgadywać.

Szczegół, który zauważa uważny czytelnik. Na granicy $\lambda_{gr} = 101{,}8$ Euler daje $200\,\mathrm{MPa}$ (z definicji, bo tak wyznaczono tę granicę), a prosta Tetmajera — $310 - 1{,}14 \cdot 101{,}8 = 194\,\mathrm{MPa}$. Krzywe nie schodzą się idealnie: różnica około 3% bierze się stąd, że $a$ i $b$ pochodzą z doświadczenia, a $R_H$ jest osobnym założeniem materiałowym. Rozbieżność leży po stronie bezpiecznej — Tetmajer daje wartość niższą.

Jak te trzy zakresy układają się razem

Warto mieć w głowie obraz zależności naprężenia krytycznego od smukłości, bo tłumaczy on wszystkie trzy wzory naraz.

Idąc od prętów najbardziej smukłych w stronę krępych: najpierw biegnie hiperbola Eulera, która przy dużych smukłościach leży nisko, a wraz z malejącym $\lambda$ rośnie coraz stromiej. Gdyby przedłużyć ją w lewo, uciekłaby do nieskończoności — i to jest właśnie ten fragment, którego nie wolno używać.

W punkcie $\lambda_{gr} = 101{,}8$ hiperbolę przecina opadająca prosta Tetmajera. Prosta idzie w dół ze wzrostem smukłości, bo im smuklejszy pręt, tym mniejsze naprężenie go wyłącza — kierunek ten sam co u Eulera, tylko przebieg łagodniejszy i oparty na pomiarach, a nie na teorii sprężystości.

Prosta kończy się w $\lambda_0 = 65{,}8$, i to zakończenie nie jest przypadkowe. Przedłużona do $\lambda = 0$ dałaby $a = 310\,\mathrm{MPa}$, czyli wartość powyżej granicy plastyczności — a pręt nie może przenieść naprężenia większego, niż wytrzymuje materiał. Dlatego od $\lambda_0$ w dół wykres przechodzi w poziomą prostą na wysokości $R_e = 235\,\mathrm{MPa}$.

Cały wykres czyta się więc jak trzy sklejone odcinki: pozioma linia wytrzymałości dla prętów krępych, opadająca prosta dla pośrednich, hiperbola dla smukłych. Wybór wzoru to po prostu pytanie, na którym z trzech odcinków wypada twoje $\lambda$.

Przykład liczbowy: ten sam pręt, trzy długości

Weźmy pręt okrągły pełny $\varnothing 50\,\mathrm{mm}$ ze stali S235, ściskany osiowo, obustronnie przegubowy ($\mu = 1$). Zmieniać będziemy wyłącznie długość.

Charakterystyki przekroju są wspólne dla wszystkich trzech przypadków:

$$A = \frac{\pi d^2}{4} = 19{,}635\,\mathrm{cm^2}, \qquad I_{min} = \frac{\pi d^4}{64} = 30{,}680\,\mathrm{cm^4}$$ $$i = \sqrt{\frac{I_{min}}{A}} = \sqrt{\frac{30{,}680}{19{,}635}} = 1{,}25\,\mathrm{cm} = 12{,}5\,\mathrm{mm}$$

Granice zakresów, przy $E = 210\,\mathrm{GPa}$, $R_H = 200\,\mathrm{MPa}$, $R_e = 235\,\mathrm{MPa}$:

$$\lambda_{gr} = \pi\sqrt{\frac{210\,000}{200}} = 101{,}8, \qquad \lambda_0 = \frac{310 - 235}{1{,}14} = 65{,}8$$

Wariant A: $L = 1{,}5\,\mathrm{m}$ → zakres sprężysty

$$\lambda = \frac{1 \cdot 1500}{12{,}5} = 120 \ \ge\ 101{,}8$$

Smukłość przekracza granicę, więc Euler obowiązuje:

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I_{min}}{(\mu L)^2} = \frac{\pi^2 \cdot 210 \cdot 10^9 \cdot 30{,}68 \cdot 10^{-8}}{1{,}5^2} = 282{,}6\,\mathrm{kN}$$

Wariant B: $L = 1{,}0\,\mathrm{m}$ → zakres niesprężysty

$$\lambda = \frac{1 \cdot 1000}{12{,}5} = 80$$

Wartość leży między $\lambda_0 = 65{,}8$ a $\lambda_{gr} = 101{,}8$, czyli Eulera stosować nie wolno. Wchodzi Tetmajer:

$$\sigma_{cr} = a - b\lambda = 310 - 1{,}14 \cdot 80 = 218{,}8\,\mathrm{MPa}$$ $$P_{cr} = \sigma_{cr} \cdot A = 218{,}8 \cdot 10^6 \cdot 19{,}635 \cdot 10^{-4} = 429{,}6\,\mathrm{kN}$$

Gdyby ktoś mimo wszystko podstawił tu wzór Eulera, dostałby $635{,}9\,\mathrm{kN}$ — o 48% za dużo. To jest cały sens tego artykułu w jednej liczbie.

Wariant C: $L = 0{,}7\,\mathrm{m}$ → pręt krępy

$$\lambda = \frac{1 \cdot 700}{12{,}5} = 56 \ <\ 65{,}8$$

Poniżej $\lambda_0$ wyboczenie przestaje decydować. Nośność ogranicza granica plastyczności:

$$P = R_e \cdot A = 235 \cdot 10^6 \cdot 19{,}635 \cdot 10^{-4} = 461{,}4\,\mathrm{kN}$$

Euler dałby tu $1297{,}7\,\mathrm{kN}$, czyli prawie trzykrotnie za dużo.

Zestawienie

Zauważ, że im krótszy pręt, tym większy błąd Eulera — dokładnie odwrotnie, niż podpowiadałaby intuicja „krótkie jest bezpieczne, więc nie ma się czym przejmować".

Wszystkie liczby powyżej pochodzą z kalkulatora wyboczenia — wpisz własny przekrój i długość, a zakres dobierze się sam, razem z ostrzeżeniem, który wzór został zastosowany i dlaczego.

Najczęstsze błędy

Podstawienie $I$ zamiast $I_{min}$. Przy przekroju niesymetrycznym — dwuteowniku, ceowniku, prostokącie — wyboczenie idzie w płaszczyźnie najmniejszej sztywności. Wzięcie „tego momentu bezwładności, który był w zadaniu" potrafi zawyżyć wynik kilkukrotnie.

Pominięcie współczynnika $\mu$. Do wzoru wchodzi długość wyboczeniowa $\mu L$, nie długość pręta. Dla wspornika ($\mu = 2$) pominięcie tego mnożnika zawyża siłę krytyczną czterokrotnie, bo długość występuje w kwadracie.

Mylenie $R_H$ z $R_e$. To dwie różne granice do dwóch różnych celów: granica proporcjonalności $R_H$ wyznacza $\lambda_{gr}$ (górny koniec zakresu Tetmajera), a granica plastyczności $R_e$ wyznacza $\lambda_0$ (dolny). Zamiana miejscami przesuwa obie granice naraz.

Traktowanie $P_{cr}$ jak nośności dopuszczalnej. Siła krytyczna to wartość, przy której pręt traci stateczność — nie ta, którą wolno go obciążyć. Obciążenie dopuszczalne to $P_{dop} = P_{cr}/n$, a współczynnik bezpieczeństwa dla wyboczenia przyjmuje się wyraźnie wyższy niż dla zwykłego ściskania, bo zjawisko jest gwałtowne i bardzo czułe na niedokładności wykonania.

Jednostki. $I$ w tablicach jest w $\mathrm{cm^4}$, a we wzorze musi być w $\mathrm{m^4}$ — różnica wynosi $10^{8}$. Analogicznie $A$: z $\mathrm{cm^2}$ na $\mathrm{m^2}$ to $10^{4}$. To najczęstszy błąd rachunkowy w całym temacie i jedyny, który daje wynik nie o 48%, tylko o osiem rzędów wielkości od prawdy.

Zakładanie, że pręt jest idealnie prosty i obciążony idealnie osiowo. Cała ta teoria opisuje pręt idealny. Rzeczywista imperfekcja obniża realną nośność, dlatego wynik traktuje się jako punkt odniesienia, a nie obietnicę.

FAQ

Czy smukłość graniczna zawsze wynosi 100? Nie. $\lambda_{gr} = \pi\sqrt{E/R_H}$ zależy od materiału. Dla przyjętych tu danych stali wychodzi 101,8. Dla stopu aluminium ($E \approx 70\,\mathrm{GPa}$) wartość będzie zupełnie inna, mimo że wzór ten sam. „Około stu" to skrót myślowy dla stali konstrukcyjnej, nie reguła ogólna.

Skąd wziąć stałe $a$ i $b$ do wzoru Tetmajera? Z tablic materiałowych — są wynikiem badań doświadczalnych. Dla stali S235 / St3S przyjmuje się $a = 310\,\mathrm{MPa}$ i $b = 1{,}14\,\mathrm{MPa}$. Niektóre ujęcia stosują postać paraboliczną $\sigma_{cr} = a - b\lambda + c\lambda^2$; przy $c = 0$ sprowadza się ona do prostej.

Co, jeśli smukłość wypada dokładnie na granicy? Wtedy w praktyce nie ma to znaczenia — obie krzywe dają w tym punkcie wartości różniące się o kilka procent (patrz uwaga wyżej). Przyjęcie wzoru Tetmajera jest wyborem ostrożniejszym.

Czy to wystarczy do zaprojektowania konstrukcji stalowej? Nie. To klasyczne ujęcie z wytrzymałości materiałów — właściwe na ćwiczenia, do zrozumienia zjawiska i do szybkiej oceny rzędu wielkości. Projektowanie konstrukcji budowlanych prowadzi się według Eurokodu 3, który używa innego aparatu: smukłości względnej i krzywych wyboczeniowych ze współczynnikiem $\chi$, uwzględniających imperfekcje i naprężenia własne. Wyniki obu podejść nie są zamienne.

Czy wyboczenie dotyczy tylko prętów ściskanych? Utrata stateczności ma wiele postaci — jest też wyboczenie skrętne, zwichrzenie belek zginanych czy lokalna utrata stateczności cienkiej ścianki. Ten artykuł opisuje wyłącznie najprostszy przypadek: wyboczenie giętne pręta ściskanego osiowo.