Naprężenia dopuszczalne S235: jak dobrać przekrój do zadanego momentu?

Odpowiedź jest jednym dzieleniem: policz wymagany wskaźnik wytrzymałości $W \ge M / \sigma_{dop}$ i weź z katalogu pierwszy profil, który go przekracza. Cała reszta — tablice, normy, współczynniki — służy tylko temu, żeby ustalić, co wstawić do tych dwóch liter.

Dla stali S235 przy typowym zapasie $n = 1{,}5$ naprężenie dopuszczalne wynosi $\sigma_{dop} \approx 157\ \mathrm{MPa}$. Moment gnący $12\ \mathrm{kN{\cdot}m}$ wymaga wtedy $W \ge 76{,}6\ \mathrm{cm^3}$, co domyka się na IPE 140 — najmniejszym profilu z katalogu, który to spełnia.

Ta droga ma w serwisie odpowiednik w postaci przycisku. Jeśli policzyłeś belkę, w jej wynikach czeka „Dobierz przekrój dla $M_{max}$ →", który przenosi moment prosto do kalkulatora naprężeń. Ten artykuł opisuje dokładnie to, co dzieje się po kliknięciu — tyle że na piechotę, żeby było wiadomo, skąd biorą się liczby.

Skąd się bierze naprężenie dopuszczalne

Zginanie wywołuje w przekroju naprężenia normalne. Największe występują we włóknach skrajnych, najdalej od osi obojętnej, i to one decydują:

$$\sigma = \frac{M}{W_x}$$

gdzie $W_x$ to wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie — jedna liczba, która streszcza całą geometrię z punktu widzenia zginania.

Warto wiedzieć, co ta liczba streszcza. Przy zginaniu naprężenia rozkładają się liniowo po wysokości przekroju: w osi obojętnej są zerowe, a rosną w obie strony, osiągając maksimum przy krawędzi górnej i dolnej. Jedna strona jest rozciągana, druga ściskana. Ponieważ o zniszczeniu decyduje wartość skrajna, cały ten rozkład można zwinąć do jednego parametru — i właśnie nim jest $W_x = I_x / y_{max}$, czyli moment bezwładności podzielony przez odległość najdalszego włókna.

Stąd bierze się reguła, która wraca w całej tej dziedzinie: materiał blisko osi obojętnej pracuje słabo. Nie jest bezużyteczny — przenosi ścinanie i trzyma resztę razem — ale na przenoszenie momentu prawie nie wpływa. Zobaczymy niżej, ile to konkretnie kosztuje w kilogramach.

Naprężenia dopuszczalnego nie wolno utożsamiać z granicą plastyczności. $R_e$ mówi, kiedy materiał zaczyna płynąć; $\sigma_{dop}$ to wartość, którą świadomie zaniżamy, żeby zostawić zapas na wszystko, czego nie policzyliśmy:

$$\sigma_{dop} = \frac{R_e}{n}$$

Dla S235 mamy $R_e = 235\ \mathrm{MPa}$. Przy $n = 1{,}5$:

$$\sigma_{dop} = \frac{235}{1{,}5} = 156{,}7\ \mathrm{MPa}$$

Skąd bierze się samo $n$, to osobna rozmowa — zależy od charakteru obciążenia (statyczne czy zmienne), skutków awarii i tego, jak pewne są dane wejściowe. Wartości 1,5–2 są typowe w zadaniach dla obciążeń statycznych; konstrukcje projektowane według Eurokodu w ogóle nie używają tego zapisu, o czym niżej.

Odwrócenie wzoru: od momentu do przekroju

Wzór $\sigma = M/W_x$ służy do sprawdzania gotowego przekroju. My mamy zadanie odwrotne — znamy moment, szukamy przekroju. Wystarczy przestawić:

$$\sigma \le \sigma_{dop} \quad\Longrightarrow\quad \frac{M}{W_x} \le \sigma_{dop} \quad\Longrightarrow\quad W_x \ge \frac{M}{\sigma_{dop}}$$

To jest cała metoda. Dostajesz wymagany wskaźnik wytrzymałości, czyli jedną liczbę, z którą idziesz do tablic.

Uwaga na jednostki, bo tu ginie najwięcej rachunków: moment podaje się zwykle w $\mathrm{kN{\cdot}m}$, naprężenie w $\mathrm{MPa} = \mathrm{N/mm^2}$, a wskaźniki w tablicach — w $\mathrm{cm^3}$. Najbezpieczniej sprowadzić wszystko do niutonów i milimetrów:

$$12\ \mathrm{kN{\cdot}m} = 12 \cdot 10^6\ \mathrm{N{\cdot}mm}$$ $$W_x \ge \frac{12 \cdot 10^6}{156{,}7} = 76\,596\ \mathrm{mm^3} = 76{,}6\ \mathrm{cm^3}$$

Wybór profilu z katalogu

Teraz wystarczy przejrzeć tablicę i wziąć pierwszy profil powyżej wymaganej wartości. Fragment katalogu IPE (PN-EN 10365):

IPE 120 ma $W_x = 53{,}0$ — za mało. IPE 140 z $W_x = 77{,}3\ \mathrm{cm^3}$ jest pierwszym, który przechodzi, i to z zapasem niecałego procenta ponad wymagane 76,6.

Przekrój poprzeczny

Sprawdzenie doboru

Dobór trzeba zweryfikować w kierunku wyjściowym — podstawiając rzeczywisty wskaźnik z tablicy:

$$\sigma = \frac{M}{W_x} = \frac{12 \cdot 10^6}{77\,300} = 155{,}2\ \mathrm{MPa}$$ $$n = \frac{R_e}{\sigma} = \frac{235}{155{,}2} = 1{,}51$$

Zapas wyszedł 1,51 zamiast założonych 1,50 — profil jest ledwo ponad progiem, dokładnie tak, jak być powinno przy doborze „pierwszy powyżej". Gdyby moment okazał się o 1% większy, ten przekrój przestałby spełniać założenie.

Dla porównania sąsiedni IPE 160 daje $\sigma = 110{,}1\ \mathrm{MPa}$ i $n = 2{,}13$. To skok zapasu o 40% za cenę 23% więcej stali — katalog jest szeregiem skokowym, więc „dobrać dokładnie" zwykle nie da się i wybiera się między za ciasno a z nadmiarem.

Wszystkie liczby powyżej pochodzą z kalkulatora naprężeń normalnych — wybierz kształt przekroju albo profil z katalogu, podaj moment, a dostaniesz naprężenie, zapas i wskaźnik z podstawieniem.

Dlaczego akurat dwuteownik

Warto zobaczyć, co dobór profilu walcowanego faktycznie oszczędza. Prostokąt o zbliżonym wskaźniku wytrzymałości to mniej więcej 40 × 110 mm:

Ten sam efekt przy 2,7 razy mniejszym polu przekroju — czyli 2,7 razy mniejszej masie i cenie. Powód jest w rozkładzie naprężeń: rosną one liniowo od osi obojętnej, więc materiał leżący blisko środka prawie nic nie przenosi. Dwuteownik odsuwa masę do półek, tam gdzie naprężenia są największe, a w środku zostawia tylko środnik, który przenosi ścinanie.

To jest też odpowiedź na pytanie, dlaczego zginany profil układa się „na wysokość". Ta sama IPE 140 obrócona o 90° ma wskaźnik względem osi y–y kilkanaście razy mniejszy — ten sam profil, ten sam materiał, inna oś.

Wytrzymałość to nie wszystko: drugi warunek

Dobrany przekrój przenosi moment — i na tym kończy się to, co właśnie sprawdziliśmy. W praktyce belka musi spełnić jeszcze warunek sztywności, czyli nie ugiąć się bardziej, niż na to pozwalamy.

To osobny rachunek i, co ważniejsze, osobna charakterystyka przekroju. Naprężenia zależą od wskaźnika $W_x$, ugięcie — od momentu bezwładności $I_x$. Te dwie wielkości rosną w różnym tempie, więc profil, który wychodzi „na styk" pod względem wytrzymałości, potrafi ugiąć się nieakceptowalnie. Im dłuższa belka, tym częściej to właśnie ugięcie, a nie naprężenia, wyznacza wybór profilu.

Granicę przyjmuje się zwykle jako ułamek rozpiętości — rzędu $L/200$ do $L/350$, zależnie od przeznaczenia. Nie jest to kwestia bezpieczeństwa konstrukcji, tylko użytkowania: widocznie ugięty strop straszy użytkowników, pęka pod nim tynk i przestają domykać się drzwi, mimo że stal ma jeszcze duży zapas do granicy plastyczności.

W praktyce oznacza to prosty porządek pracy: dobierz przekrój z warunku wytrzymałości, a potem sprawdź ugięcie i w razie potrzeby zwiększ profil. Odwrotna kolejność też działa, ale rzadko bywa wygodniejsza. Kalkulator belki podaje $y_{max}$ razem z $M_{max}$, więc oba warunki da się sprawdzić na jednym ekranie.

Ten drugi rachunek ma osobny tekst: jak obliczyć ugięcie belki dwupodporowej prowadzi go na przykładzie, w którym profil z zapasem wytrzymałości 1,52 zostaje mimo to odrzucony, bo ugina się o 22 mm przy dopuszczalnych 20.

Najczęstsze błędy

Mylenie $W_x$ z $I_x$. Moment bezwładności $I_x$ [cm⁴] opisuje sztywność i wchodzi do ugięcia; wskaźnik $W_x$ [cm³] opisuje wytrzymałość i wchodzi do naprężeń. Wiąże je $W_x = I_x / y_{max}$. Podstawienie $I_x$ zamiast $W_x$ daje wynik mniejszy o rząd wielkości i wygląda na bardzo bezpieczny.

Dzielenie przez $R_e$ zamiast przez $\sigma_{dop}$. Pominięcie współczynnika bezpieczeństwa daje $W_x \ge 51{,}1\ \mathrm{cm^3}$, czyli wskazuje IPE 120 — profil, który w rzeczywistości pracuje przy naprężeniu 226 MPa, tuż pod granicą plastyczności. Zapas znika w całości, a wynik nadal „wychodzi".

Zginanie względem niewłaściwej osi. Tablicowe $W_x$ dotyczy zginania w płaszczyźnie środnika. Jeśli obciążenie działa w drugiej płaszczyźnie, obowiązuje $W_y$ — wielokrotnie mniejsze. Katalog podaje obie wartości i nie zgadnie za nikogo, która jest właściwa.

Jednostki momentu. $\mathrm{kN{\cdot}m}$ na $\mathrm{N{\cdot}mm}$ to mnożenie przez $10^6$, nie przez $10^3$. Błąd o trzy rzędy wielkości daje albo profil absurdalnie wielki, albo absurdalnie mały — w drugą stronę bywa niezauważony, bo liczba nadal wygląda sensownie.

Sprawdzenie samych naprężeń normalnych. Dobrany przekrój przenosi moment, ale to nie znaczy, że nadaje się do zastosowania. Trzeba jeszcze sprawdzić ugięcie (belka spełniająca warunek wytrzymałości potrafi ugiąć się nieakceptowalnie), ścinanie przy podporach oraz — dla smukłych elementów ściskanych — stateczność.

Traktowanie $R_e = 235$ jako wartości uniwersalnej dla S235. Granica plastyczności spada dla grubszych wyrobów; 235 MPa dotyczy grubości do 16 mm. Przy grubszych półkach do obliczeń wchodzi wartość niższa.

FAQ

Jaki współczynnik bezpieczeństwa przyjąć? Zależy od charakteru obciążenia i skutków awarii. Dla obciążeń statycznych w zadaniach typowe jest 1,5–2, dla zmiennych — wyraźnie więcej, bo wtedy w grę wchodzi zmęczenie i decyduje wytrzymałość zmęczeniowa, a nie $R_e$. Nie ma jednej liczby, którą można podać bez kontekstu, i każde źródło podające ją bez zastrzeżeń warto traktować ostrożnie.

Czy tak projektuje się konstrukcje stalowe? Nie. To metoda naprężeń dopuszczalnych — klasyczne ujęcie z wytrzymałości materiałów, właściwe na ćwiczenia i do szybkiej oceny rzędu wielkości. Eurokod 3 stosuje metodę stanów granicznych: obciążenia mnoży się przez współczynniki obciążeniowe, nośność dzieli przez materiałowe, a przekrój klasyfikuje się pod kątem lokalnej utraty stateczności. Wyniki obu podejść nie są zamienne.

Skąd wziąć moment do tego rachunku? Z analizy schematu statycznego. Jeśli liczysz belkę w tym serwisie, przycisk „Dobierz przekrój dla $M_{max}$ →" w jej wynikach przenosi wartość wprost do kalkulatora naprężeń — bez przepisywania i bez przeliczania jednostek. Dla schematów spoza kalkulatora bierze się $M_{max}$ z wykresu momentów.

Czy zawsze brać pierwszy profil powyżej wymaganego $W_x$? Z punktu widzenia wytrzymałości tak, ale rzadko to jedyne kryterium. Wyższy profil bywa wymuszony przez ugięcie, dostępność handlową albo ujednolicenie przekrojów w całej konstrukcji — jeden typ w kilku miejscach potrafi być tańszy niż dobrany osobno dla każdego elementu.

Co, jeśli przekrój nie jest w żadnej tablicy? Wtedy $W_x$ liczy się z geometrii: dla prostokąta $W_x = bh^2/6$, dla koła $W_x = \pi d^3/32$, dla przekrojów złożonych — z $I_x$ podzielonego przez odległość włókna skrajnego. Kalkulator obsługuje oba warianty: kształty parametryczne i profile z katalogu.