Jak obliczyć ugięcie belki dwupodporowej?

Dla najczęstszego przypadku — siły skupionej w środku rozpiętości — odpowiedź mieści się w jednym wzorze: $y_{max} = FL^3 / (48EI)$. Reszta pracy polega na tym, żeby podstawić do niego spójne jednostki i porównać wynik z granicą dopuszczalną, która nie wynika z wytrzymałości, tylko z użytkowania.

Ostatnia część jest ważniejsza, niż się wydaje. W przykładzie poniżej belka IPE 200 przenosi obciążenie z zapasem wytrzymałości 1,52 — czyli spełnia warunek naprężeń — a mimo to zostaje odrzucona, bo ugina się o 22 mm zamiast dopuszczalnych 20. O doborze profilu decyduje wtedy sztywność, nie wytrzymałość.

Od czego zależy ugięcie

We wzorze siedzą cztery wielkości i każda działa inaczej:

Dwa wiersze z tej tabeli warto zapamiętać osobno.

Rozpiętość wchodzi w trzeciej potędze i to ona rządzi całym zagadnieniem. Belka dwa razy dłuższa ugina się przy tym samym obciążeniu osiem razy bardziej. Dlatego przy długich przęsłach ugięcie niemal zawsze wyprzedza naprężenia jako kryterium decydujące.

Moduł Younga jest praktycznie stały dla wszystkich stali konstrukcyjnych — S235, S355 i stal na śruby klasy 10.9 mają go niemal identyczny. Zamiana gatunku na mocniejszy nie zmniejszy ugięcia ani o milimetr. Pomaga wyłącznie zmiana geometrii: większy profil, mniejsza rozpiętość albo dodatkowa podpora.

Wzory dla typowych schematów

Iloczyn $EI$ nazywa się sztywnością giętną i to on decyduje o ugięciu. Dla belki swobodnie podpartej najczęściej potrzebne są dwa przypadki:

Oba maksima wypadają w środku rozpiętości. Przy sile poza środkiem albo kilku obciążeniach naraz wzory zamknięte się kończą i trzeba całkować równanie linii ugięcia — to robi za nas kalkulator, korzystając z zasady superpozycji.

Uwaga na jednostki, bo tu ginie najwięcej rachunków. Najbezpieczniej sprowadzić wszystko do kiloniutonów i metrów: $E$ w GPa i $I$ w cm⁴ dają po przemnożeniu sztywność w $\mathrm{kN{\cdot}m^2}$ po podzieleniu przez $10^5$. Dla IPE 200 wychodzi $EI = 4080{,}3\ \mathrm{kN{\cdot}m^2}$.

Przykład: belka 6 m, siła 20 kN w środku

Belka swobodnie podparta o rozpiętości 6 m, obciążona siłą 20 kN w środku, profil IPE 200 ($I = 1943$ cm⁴), stal S235.

Schemat belki

Reakcje rozkładają się po połowie — po 10 kN na każdą podporę. Moment maksymalny wypada pod siłą:

$$M_{max} = \frac{FL}{4} = \frac{20 \cdot 6}{4} = 30\ \mathrm{kN{\cdot}m}$$ $$y_{max} = \frac{FL^3}{48EI} = \frac{20 \cdot 6^3}{48 \cdot 4080{,}3} = 22{,}06\ \mathrm{mm}$$

Dwa warunki, dwa różne werdykty

Teraz najciekawsza część. Sprawdźmy oba kryteria dla tego samego profilu:

Profil przechodzi wytrzymałościowo i wypada na ugięciu. Wykorzystanie granicy wynosi 110%, czyli przekroczenie o dziesięć procent — na tyle niewiele, że sprawdzenie samych naprężeń niczego by nie zasygnalizowało.

Naprawa polega na zwiększeniu $I$, nie na zmianie stali. Sąsiedni profil IPE 220 ($I = 2772$ cm⁴) daje:

Wzrost momentu bezwładności o 43% zmniejsza ugięcie o 30% i sprowadza wykorzystanie z 110% do 77%. Przy okazji zapas wytrzymałości rośnie z 1,52 do 1,97 — ale to tylko efekt uboczny, bo o wyborze zdecydowała sztywność.

Wszystkie liczby powyżej pochodzą z kalkulatora belki dwupodporowej — dodaj dowolną kombinację sił, obciążeń ciągłych i momentów, ustaw pozycje podpór, a dostaniesz reakcje, wykresy $T(x)$ i $M(x)$, ugięcie z pozycją maksimum oraz kontrolę granicy, jeśli ją zadasz.

Co zrobić, gdy wzory z tabeli się kończą

Tabela wyżej obejmuje dwa przypadki. Wystarczy dołożyć drugą siłę, przesunąć ją poza środek albo dodać moment skupiony, żeby żaden gotowy wzór nie pasował — a to jest sytuacja typowa, nie wyjątkowa.

Wyjścia są dwa. Pierwsze to zasada superpozycji: dopóki materiał pracuje sprężyście, a ugięcia są małe, skutki poszczególnych obciążeń po prostu się dodają. Można więc policzyć ugięcie od każdej siły osobno gotowym wzorem i zsumować wyniki. Metoda działa dla reakcji, momentów i ugięć jednocześnie — to na niej opiera się kalkulator.

Drugie wyjście to policzenie linii ugięcia wprost z równania różniczkowego $EI\,y'' = M(x)$, czyli dwukrotne scałkowanie przebiegu momentu ze stałymi wyznaczonymi z warunków podparcia. Rachunek jest żmudny, ale za to nie ma ograniczeń co do układu obciążeń, i to on daje pozycję maksimum, a nie tylko jego wartość.

Warto przy tym pamiętać, że superpozycja ma warunek: liniowość. Przy dużych ugięciach, plastyczności albo zmiennej geometrii przestaje obowiązywać i sumowanie wyników daje wtedy wynik nieprawdziwy.

Skąd bierze się granica dopuszczalna

Ugięcie graniczne podaje się jako ułamek rozpiętości — $L/200$, $L/300$, $L/350$ — i nie jest to kryterium bezpieczeństwa. Belka ugięta ponad normę nadal ma pełny zapas do granicy plastyczności; problem leży gdzie indziej.

Widocznie ugięty strop niepokoi użytkowników, nawet gdy jest całkowicie bezpieczny. Pęka pod nim tynk, przestają domykać się drzwi, na posadzce zbiera się woda, a przy stropach pod ścianki działowe pojawiają się rysy. Im bardziej wrażliwe wykończenie, tym ostrzejszy wymóg — stąd rozrzut wartości.

Wybór konkretnej granicy zależy od przeznaczenia i bierze się z normy albo z ustaleń projektowych, a nie z fizyki belki. To dlatego kalkulator traktuje ją jako pole opcjonalne: bez podanej granicy policzy ugięcie, ale nie orzeknie, czy jest dopuszczalne.

Gdzie to prowadzi dalej

Ugięcie jest jednym z dwóch sprawdzeń, a nie całą analizą. Naturalna kolejność pracy wygląda tak:

1. Schemat statyczny — reakcje, przebieg siły tnącej i momentu, wartość $M_{max}$.
2. Dobór przekroju z warunku wytrzymałości — z $M_{max}$ wynika wymagany wskaźnik $W_x$, a z niego profil z katalogu.
3. Sprawdzenie ugięcia — czyli to, co liczymy tutaj; jeśli wypada za duże, wraca się do kroku 2 z większym profilem.

Krok drugi opisuje osobny tekst o doborze przekroju dla zadanego momentu, a w samym kalkulatorze belki czeka na to przycisk „Dobierz przekrój dla $M_{max}$ →", który przenosi policzony moment prosto do kalkulatora naprężeń — bez przepisywania liczby i bez ręcznego przeliczania jednostek.

Przykład z tego artykułu pokazuje przy okazji, dlaczego tej pętli nie da się przejść raz: dobór po samym momencie wskazał IPE 200, a ugięcie odesłało nas z powrotem po IPE 220.

Najczęstsze błędy

Zmiana gatunku stali w nadziei na mniejsze ugięcie. S355 jest mocniejsza od S235, ale ma ten sam moduł Younga. Ugięcie nie drgnie. To najczęstsze nieporozumienie w całym temacie i bierze się z mylenia wytrzymałości ze sztywnością.

Podstawianie $W_x$ zamiast $I_x$. Do ugięcia wchodzi moment bezwładności [cm⁴], do naprężeń — wskaźnik wytrzymałości [cm³]. Tablice profili podają obie wielkości obok siebie, więc pomyłka jest łatwa, a wynik wychodzi o rząd wielkości za duży.

Sprawdzenie samej wytrzymałości. Dokładnie sytuacja z przykładu: profil przechodzi na naprężenia i wypada na ugięciu. Im dłuższa belka, tym częściej tak jest — przy rozpiętościach kilkumetrowych sztywność zwykle rządzi.

Mieszanie jednostek. $E$ w GPa, $I$ w cm⁴, $L$ w metrach i $F$ w kN nie dają się podstawić wprost. Sprowadzenie do jednego układu przed rachunkiem jest szybsze niż szukanie potem błędu o trzy rzędy wielkości.

Przyjmowanie, że maksimum ugięcia leży w środku. Przy sile w środku owszem, ale przy obciążeniu niesymetrycznym albo kilku siłach maksimum przesuwa się i trzeba je znaleźć numerycznie. Kalkulator podaje razem z wartością pozycję $x$, w której wypada.

Pominięcie ciężaru własnego. Przy lekkich obciążeniach użytkowych ciężar samej belki i stropu bywa porównywalny z obciążeniem zewnętrznym. Do schematu wchodzi jako obciążenie ciągłe.

FAQ

Czy ugięcie liczy się od obciążeń charakterystycznych czy obliczeniowych? Sprawdzenie ugięcia należy do stanu granicznego użytkowalności, więc liczy się je od obciążeń charakterystycznych — bez współczynników obciążeniowych, które stosuje się przy nośności. To częsty błąd przy przechodzeniu między dwoma sprawdzeniami w jednym zadaniu.

Co, jeśli belka ma przewieszenia? Wzory zamknięte z tabeli obowiązują dla podpór na końcach. Przy podporach przesuniętych do wewnątrz zmieniają się i reakcje, i przebieg momentu, a na przewieszeniach ugięcie ma zwrot przeciwny niż w przęśle. Kalkulator obsługuje dowolne pozycje podpór, ale rozpiętością odniesienia dla kryterium $L/n$ jest wtedy odległość między podporami, nie długość całej belki.

Czy da się zmniejszyć ugięcie bez zmiany profilu? Tak, i to skuteczniej niż profilem, bo rozpiętość wchodzi w trzeciej potędze. Dodanie podpory pośrodku zmniejsza ugięcie kilkunastokrotnie — ale zamienia układ w belkę ciągłą, statycznie niewyznaczalną, której nie policzy się wzorami z tego artykułu.

Skąd wziąć $I$ dla przekroju spoza katalogu? Z geometrii: dla prostokąta $I = bh^3/12$, dla koła $I = \pi d^4/64$, dla przekrojów złożonych — sumując momenty składowych z twierdzeniem Steinera. Kalkulator naprężeń liczy $I$ dla kilku kształtów parametrycznych i podaje je obok wskaźnika.

Czy ugięcie 22 mm na 6 metrach to dużo? To 0,37% rozpiętości i gołym okiem bywa niewidoczne. Właśnie dlatego granicę zapisuje się jako ułamek $L$, a nie jako wartość bezwzględną — kilka milimetrów na krótkiej belce to problem, a te same kilka milimetrów na dwudziestu metrach nie znaczy nic.